Dérivée d'une somme

Propriété

Soit  `f`  une fonction définie sur un intervalle  `I` de `\mathbb R` de la forme  `f=u+v`  où  `u`  et  `v`  sont deux fonctions dérivables sur  `I` .
Alors  `f`  est dérivable sur  `I`  et pour tout    `x\inI` ,  \(f'(x)=u'(x)+v'(x)\) .

Démonstration

Soit  `f=u+v`   et  `a\inI` . 
Pour tout réel  `h\ne0`  tel que `(a+h)\inI` `` , on a : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-(u(a)+v(a))}{h}\)

`` En réorganisant les termes, on obtient : 

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)+v(a+h)-v(a)}{h}\)

\(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}\)

Or,  `u`  et  `v`  étant dérivables en  `a` , on a :  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)\)  et  \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)\) .

Ainsi,   \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=u'(a)+v'(a)\) . 

La fonction  `f=u+v`  est donc dérivable pour tout  `a\in I`  et  \(f'(a)=u'(a)+v'(a)\) .